Penelitian Operasional : Pemodelan Matematis (Programa Linier)

Assalamu'alaikum Wr. Wb.
Mari kita lanjutkan pembahasan kita (kalau ada yang ngantuk silahkan keluar, cari dan minum kopi dulu ...)

Pemrograman Linier /programa linear / linear programing (disingkat PL) merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan tertentu, misalnya memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya. PL banyak diterapkan dalam masalah ekonomi, industri, militer, social dan lain-lain. PL berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linier dengan beberapa kendala linier.

Supaya lebih bingung saudara dapat download materi disini ... sebelum dilanjutkan dengan contoh yang gampang-gampang saja.

Ini contoh pertama kita :
PT. Pusing Jaya memproduksi 2 jenis produk yaitu meja dan kursi yang harus diproses melalui perakitan dan finishing. Proses perakitan memiliki 60 jam kerja sedang proses finishing memiliki 48 jam kerja. Untuk menghasilkan satu meja dibutuhkan 4 jam perakitan dan 2 jam finishing, sedangkan satu kursi membutuhkan 2 jam perakitan dan 4 jam finishing. Laba untuk tiap meja Rp. 8 dan tiap kursi Rp. 6. Sekarang kita harus menentukan kombinasi terbaik dari jumlah meja dan kursi yang harus diproduksi, agar menghasilkan laba maksimal.

Proses pemodelan :
Hal pertama yang harus dilakukan adalah mengidentifikasi tujuan, alternatif keputusan dan sumber daya yang membatasi. Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal, tujuan yang ingin dicapai adalah memaksimumkan pendapatan. Alternatif keputusan adalah jumlah meja dan kursi yang akan diproduksi. Sumber daya yang membatasi adalah waktu kerja perakitan dan waktu kerja finishing.

Ada dua variabel keputusan dan dua sumber daya yang membatasi. Fungsi tujuan merupakan maksimisasi, karena semakin besar pendapatan akan semakin disukai oleh perusahaan.
Fungsi kendala pertama (waktu kerja perakitan) menggunakan pertidaksamaan ≤, karena waktu yang tersedia dapat digunakan sepenuhnya atau tidak, tetapi tidak mungkin melebihi waktu yang ada.
Fungsi kendala kedua (waktu kerja finishing) menggunakan pertidaksamaan ≤, karena waktu yang tersedia dapat digunakan sepenuhnya atau tidak, tetapi tidak mungkin melebihi waktu yang ada.

Kita definisikan :
x1 = jumlah meja yang akan diproduksi
x2 = jumlah kursi yang akan diproduksi

Fungsi tujuan :
Maksimumkan z = 8 x1 + 6 x2

Kendala :
4 x1 + 2 x2 ≤ 60
2 x1 + 4 x2 ≤ 48
x1 ; x2 ≥ 0

Ini contoh kedua kita :
Perusahaan dompet PT. Pusing Jaya membuat 2 macam dompet yaitu dompet merk CITRA dan merk AYU. Untuk membuat dompet tersebut perusahaan memiliki 3 mesin. Setiap lusin dompet merk CITRA mula-mula dikerjakan di mesin 1 selama 2 jam, kemudian tanpa melalui mesin 2 terus dikerjakan di mesin 3 selama 6 jam. Sedang untuk dompet merk AYU tidak diproses di mesin 1, tetapi pertama kali dikerjakan di mesin 2 selama 3 jam kemudian di mesin 3 selama 5 jam. Jam kerja maksimum setiap hari untuk mesin 1 adalah 8 jam, mesin 2 adalah 15 jam, dan mesin 3 adalah 30 jam. Sumbangan terhadap laba untuk setiap lusin dompet merk CITRA Rp. 3, sedang merk AYU Rp. 5. Masalahnya adalah menentukan berapa lusin sebaiknya dompet merk CITRA dan merk AYU yang dibuat agar bisa memaksimumkan laba.

Proses pemodelan :
Hal pertama yang harus dilakukan adalah mengidentifikasi tujuan, alternatif keputusan dan sumber daya yang membatasi. Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal, tujuan yang ingin dicapai adalah memaksimumkan pendapatan. Alternatif keputusan adalah jumlah dompet merek Citra dan dompet merek Ayu yang akan diproduksi. Sumber daya yang membatasi adalah jam kerja Mesin 1. jam kerja Mesin 2, dan jam kerja Mesin 3.

Ada dua variabel keputusan dan tiga sumber daya yang membatasi. Fungsi tujuan merupakan maksimisasi, karena semakin besar pendapatan akan semakin disukai oleh perusahaan.
Fungsi kendala pertama (jam kerja Mesin 1) menggunakan pertidaksamaan ≤, karena waktu yang tersedia dapat digunakan sepenuhnya atau tidak, tetapi tidak mungkin melebihi waktu yang ada.
Fungsi kendala kedua (jam kerja Mesin 2) menggunakan pertidaksamaan ≤, karena waktu yang tersedia dapat digunakan sepenuhnya atau tidak, tetapi tidak mungkin melebihi waktu yang ada.
Fungsi kendala ketiga (jam kerja Mesin 3) menggunakan pertidaksamaan ≤, karena waktu yang tersedia dapat digunakan sepenuhnya atau tidak, tetapi tidak mungkin melebihi waktu yang ada.
Kita definisikan :
x1 = jumlah dompet merek Citra yang akan diproduksi
x2 = jumlah dompet merek Ayu yang akan diproduksi

Fungsi tujuan :
Maksimumkan z = 3 x1 + 5 x2

Kendala :
2 x1 + 0 x2 ≤ 8 (mesin 1)
0 x1 + 3 x2 ≤ 15 (mesin 2)
6 x1 + 5 x2 ≤ 30 (mesin 3)
x1 ; x2 ≥ 0

Lebih sederhananya, model matematiknya adalah sebagai berikut :
Maksimumkan z = 3 x1 + 5 x2
Dengan kendala :
2 x1 ≤ 8
3 x2 ≤ 15
6 x1 + 5 x2 ≤ 30

Ini contoh ketiga kita :
Toko PT. Pusing Jaya menyediakan dua merk pupuk buat petani yang juga bingung, yaitu pupuk jenis Standard dan Super. Setiap jenis pupuk mengandung campuran bahan nitrogen dan fosfat dalam jumlah tertentu, sebagaimana terlihat pada tabel berikut :


Seorang petani membutuhkan paling sedikit 16 kg nitrogen dan 24 kg fosfat untuk memenuhi kebutuhan lahan pertaniannya. Harga pupuk Standar dan Super masing-masing Rp. 3 dan Rp. 6. Petani tersebut harus memutuskan berapa sak masing-masing jenis pupuk harus dibeli agar total harga pupuk yang dibeli adalah minimum dan kebutuhan pupuk untuk lahannya terpenuhi.

Proses pemodelan :
Hal pertama yang harus dilakukan adalah mengidentifikasi tujuan, alternatif keputusan dan sumber daya yang membatasi. Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal, tujuan yang ingin dicapai adalah meminimasi biaya pembelian pupuk. Alternatif keputusan adalah jumlah pupuk standar dan jumlah pupuk super yang akan dibeli petani. Sumber daya atau batasan yang harus dipenuhi adalah jumlah kandungan nitrogen dan jumlah kandungan pospat.

Ada dua variabel keputusan dan dua sumber daya atau batasan harus dipenuhi. Fungsi tujuan merupakan minimasi, karena semakin kecil pengeluaran akan semakin disukai oleh sang petani.

Fungsi kendala pertama (kandungan nitrogen) menggunakan pertidaksamaan ≥, karena kandungan nitrogen yang harus dipenuhi, paling tidak (minimal) adalah 16 gram.
Fungsi kendala pertama (kandungan phospat) menggunakan pertidaksamaan ≥, karena kandungan phospat yang harus dipenuhi, paling tidak (minimal) adalah 24 gram.

Kita definisikan :
x1 = jumlah pupuk standar yang akan dbeli
x2 = jumlah pupuk super yang akan dbeli

Fungsi tujuan :
Maksimumkan z = 3 x1 + 6 x2

Kendala :
2 x1 + 4 x2 ≥ 16 (kandungan nitrogen)
4 x1 + 3 x2 ≥ 24 (kandungan posphat)
x1 ; x2 ≥ 0